B站李永乐老师提到过一个硬币游戏,大意如下:有一天,你孤零零的来到一个酒吧,百无聊赖,想着怎么打发时间。突然,一个腿长一米二的美女来到你面前,问你有没有兴趣和她一起做个小游戏,还能挣些钱。游戏规则是这样的:你和美女手中各有一枚硬币,先把硬币藏在两手之间,游戏开始时,两人同时将硬币展示,若均为正面,你挣3元,若均为反面,你挣1元;若一正一反,你输2元。
思考了8.2秒钟后,你欣然应允,有一半机会挣钱啊,就算运气差一点也不会输太多,毕竟有来有回。关键,不论如何都可以和这位美女一起度过一段美好时光,何乐而不为。这个美女,你总是听身边的朋友提及如何各自拜倒在她的石榴裙下的故事,你觉得他们都弱爆了,你一定能在这轮游戏后彻底征服她。
游戏开始了,理论上来说,只要玩得次数足够多,你是不输不赢的。看上去是非常公平的概率游戏。可是玩着玩着,你发现哪里不太对劲,为什么自己一直在输钱。你想了又想,只能怪罪自己运气不佳。你不相信,运气女神会一直站在你的另一边。于是,你加大赌注,直到输光了今天身上的所有钱。临走前,美女向你递了个媚眼,意犹未尽的你只想着改天重头再来。
真的是你运气不好吗?我们来详细看看这个游戏规则。
假设你出硬币正面的概率为x,则你出反面的概率为1-x;美女出硬币正面的概率为y,则她出反面的概率为1-y。
那么,你在一轮投币游戏中获得收益的数学期望为:3xy+(1-x)(1-y)-2[x(1-y)+y(1-x)]=8xy-3x-3y+1,x,y的值均位于[0,1]区间。
作为主动找你玩游戏的美女,她只要保证这个值始终小于0,即:8xy-3x-3y+1<0,你就会一直输下去。这有可能吗?要如何保证值永远小于0呢?只要确认一下美女决定出硬币正面的概率y的范围,看看是不是有解即可。
运用初中所学数学知识,把y提出来,上述方程可变为,(8x-3)y<3x-1。
这是一个二元一次方程,将不等式左边的(8x-3)移到不等式右边时,要考虑8x-3的正负问题。
即,当8x-3>0,x>3/8时,y<(3x-1)/(8x-3);当8x-3<0时,y>(3x-1)/(8x-3)。
两个函数都是减函数,在第一个不等式中,x取到最大值1时不等式右边到最小极限,解得y<2/5;同理,在第二个不等式中,x取到最小值0时不等式右边达到最大极限,即y>1/3。
方程有解。也就是说,美女出硬币正面的概率控制在1/3<y<2/5这个范围内,只要玩的次数足够多,她就会把你的钱赢光。这就是李永乐的博弈论游戏。
这是一个规则由庄家制定的数学游戏。但你以为我们说的仅仅是一个简单的投币游戏吗?
说的是股市。